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(原文發表於2026年1月4日)

理性是有边界的

先讲一件发生在九十多年前事情。故事发生在德国哥尼斯堡。1930年9月的一天，数学家希尔伯特站在台上，接受这座城市授予的“荣誉市民”称号。此时的他刚刚68岁，是全世界最有声望的数学家之一。在演讲的最后，希尔伯特用洪亮的声音说出了那句后来成为他墓志铭的话：“我们终将知道，我们必然知道！”

当年的录音至今还保存着。如果你仔细听，能听到希尔伯特讲完这番话时得意的笑声。那笑声里充满了自信：数学界所有的问题，我们迟早都能解决。台下掌声雷动，没有人怀疑这位大师的判断。

但就在演讲的前一天，一位24岁的年轻人向《数学月刊》投了一篇稿子。这个年轻人叫库尔特·哥德尔，当时还是维也纳大学的一名普通研究员。他的论文只有26页，题目很长，叫《论〈数学原理〉及相关系统中的形式上不可判定命题》。

这篇论文在1931年发表。从那一刻起，希尔伯特那句“我们终将知道”，从数学上讲，就已经被证明是错的了。哥德尔证明了一个惊人的结论：在任何包含基本算术的数学系统中，总存在真实但无法被证明的命题。换句话说，有些事情你知道它是对的，但你永远无法证明它。

这个故事揭示了人类认知史上最深刻的转折：我们用了7万年时间，从追求绝对的确定性，到最终不得不接受——不确定性才是世界的本质。这个转折是如何发生的呢？这个转折的全过程，就是这本书要讲述的内容。

作为一名物理学家，我参与设计了天宫四号空间站上世界第一个微重力超冷原子实验平台。作为一名大学老师，我在南科大讲授的逻辑学课程受到学生广泛欢迎，这本书就是从那门课程发展而来的。

我想通过这本书告诉你：在今天这个AI快速发展的时代，理解逻辑变得比以往任何时候都重要。你得知道怎么跟AI对话，怎么判断AI给出的答案靠不靠谱，怎么在AI搞不定的复杂情况下自己做决策。

人类如何建立起对确定性的追求？

要理解人类对确定性的追求，我们得从7万年前说起。

大约7万年前，智人从非洲走出，逐渐遍布全球。那时候，地球上还生活着另一个人类物种——尼安德特人。尼安德特人的脑容量比智人更大，骨骼更粗壮，体能也更强。如果是一对一单挑，智人根本不是对手。但最终的结果却是，智人征服了尼安德特人，成为地球的主宰。

答案是语言。

智人具备精细的口腔发音系统，可以进行极其复杂的交流。想象一下这样的场景：一群智人在草原上发现了一头猛犸象。猛犸象体形巨大，一个人根本无法对付。

但智人可以通过语言快速制定战术：谁负责从左边包抄，谁负责从右边佯攻，谁负责正面吸引注意力。几十个人协同作战，再强大的猛犸象也会倒下。这就是语言的力量。

语言不仅仅是沟通工具，它还塑造了人类对确定性的追求。当智人开始用语言交流时，他们也开始思考未来、规划明天、预期收成。从游牧生活过渡到农耕生活，人们敢于繁衍后代，因为预期的稳定粮食产量使得养育更多子女成为可能。这种对未来的预期，就是对确定性的最初追求。

语言的力量同样体现在古埃及文明中。1799年，拿破仑的军队在埃及发现了罗塞塔石碑，上面刻着同一段文字的三种语言版本。通过对照古希腊文，学者们最终破译了失传两千年的古埃及文字。

有意思的是，古埃及语在近4000年里保持了相对稳定。为什么？与金字塔工程有关。

每年在建造金字塔期间，来自古埃及各地的工匠汇聚到尼罗河三角洲。这样的大规模工程需要统一的语言协调。半年的集体劳动结束后，工匠们返回家乡，又把统一的语言和对法老的信仰传播到国家的每个角落。金字塔工程的副产品，竟然是语言的统一和文化的稳定。

中文则走了另一条路。中文是表意语言，书写与发音独立。即使方言差异巨大，“十里不同音”，但不同地域通过书写的文字仍然可以沟通。

语言之后，人类对确定性的追求进入了第二个阶段：宗教。

早期的宗教多是多神崇拜。古埃及有太阳神、冥神，古希腊有宙斯、雅典娜，古印度信仰号称有三亿三千三百万个神。但多神论有个明显的问题：当不同的神管辖范围重叠时，你该信哪个？一神论的出现解决了这个问题，它提供了一个统一的、绝对真理概念。

基督教的特殊之处在于，它是建立在逻辑规则之上的宗教。基督教有三个基本假设：《圣经》是真实的，上帝是存在的唯一神，人是上帝创造的。基于这些假设，基督教的教义可以通过逻辑辩论来探讨。这种严肃的逻辑讨论传统，为后来科学的诞生埋下了伏笔。

但真正让逻辑成为一门学问的，还是古希腊人。公元前6世纪左右，古希腊人开始认真思考：自然界是否存在某种规律？这种规律能否被人理解？在古希腊之前，古巴比伦人、古埃及人都发现了一些自然规律，但他们把这些当作宗教秘密。只有古希腊人，一代又一代人真诚而执着地思考自然的本质。

亚里士多德是这个传统的集大成者。他系统地提出了逻辑学，总结出形式逻辑的四大基本规律。这四大基本逻辑包括同一律、矛盾律、排中律、因果律。

“同一律”要求，在同一思维过程中，必须在同一意义上使用相同的概念。

矛盾律要求，一个命题与其否定不能同时为真。

“排中律”是说一个命题与其否定不能同时为假，必有一真。因果律要求，每个事物的存在都有原因，不会凭空发生。

这四大规律构成了人类理性思维的基石。除此之外，亚里士多德还创立了三段论推理，例如：所有人都会死，苏格拉底是人，因此苏格拉底会死。这种推理方式确保了，只要前提正确，逻辑过程正确，结论就必然正确。

古希腊人不仅发展了逻辑，还把数学提升到了前所未有的高度。这种对数学的信仰一直延续到近代。哥白尼、开普勒、伽利略、牛顿都相信：上帝是一位伟大的数学家，宇宙是按照数学法则设计的。伽利略说：“数学是上帝设计宇宙的语言。”牛顿用三大运动定律和万有引力定律，完美解释了从石头下落到行星运行的所有现象。

到了18世纪，法国数学家拉普拉斯把这种信念推向了极致。他说，假设有一个理性存在，在某一时刻知晓宇宙中所有物体的动量和位置，并拥有足够的智慧来分析数据，那么宇宙的过去和未来都将变得显而易见。这个设想中的理性存在被称为“拉普拉斯妖”。

“拉普拉斯妖”代表了古典理性的巅峰：宇宙是确定的，未来是可预测的，只要我们掌握了足够的信息和计算能力。这种信念在当时几乎成为所有科学家的共识。

然而，就在人们对理性充满信心的时候，数学这座看似坚不可摧的大厦，地基开始动摇。

理性大厦为何摇摇欲坠？

接下来这段有点烧脑，但如果你跟我一起完成这次大脑健身，你将对人类认知的演进有一个整体把握。

数学的第一次危机，来自一个简单的发现：无理数。

公元前6世纪，毕达哥拉斯学派有一位学生叫希帕索斯。他发现等腰直角三角形的斜边长度，也就是我们上初中的时候接触到的√2，这个数无法写成两个整数的比值。

这个发现打破了毕达哥拉斯所说“自然界所有的数都是整数或整数比”的理论。传说为了维护老师的理论，其他学生在一起乘船时，趁希帕索斯不注意将他推下了水。

无理数的问题虽然令人困扰，但并没有从根本上动摇数学的基础。真正的麻烦，来自“无穷”。

17世纪，牛顿和莱布尼茨发明了微积分。微积分极其强大，但它建立在“无穷小”和“无穷大”这两个无法准确定义的概念之上。什么是无穷小？莱布尼茨说，它是“比任意给定的数都要小，但又不为零”。听起来很有道理，但仔细一想就会发现问题。

在微积分里，数学家们会先假设无穷小量h不等于零，在等式两边同时除以h；然后又让h等于零，得出结果。英国哲学家贝克莱尖锐地批评说：同一个符号h，你想让它不等于零时它就不等于零，想让它等于零时它就等于零，这明显违背了同一律！

更荒谬的例子是这个：18世纪的数学家欧拉通过级数展开证明，1+2+3+4+5...这个自然数求和的结果，等于-1/12。你没听错，所有自然数加起来，结果是个负数，而且还是个分数！

但有意思的是，这个看似荒谬的结果，在20世纪的物理学中竟然找到了应用。1948年，物理学家卡西米尔发现，在真空中两块平行的导体板之间存在一种吸引力。计算这个力的大小时，恰恰需要用到“1+2+3+...=-1/12”这个结果。实验验证了它的正确。

这就带来了一个深刻的问题：数学到底是什么？它是我们发明的工具，还是自然界本身的规律？

19世纪的数学家康托尔提出了一个大胆的方案：我们必须放弃“整体大于部分”的常识。他说，在无穷的世界里，部分可以等于整体。

比如，自然数有无穷多个，偶数也有无穷多个。偶数只是自然数的一部分，但它们的“数量”是相等的。因为每个自然数都可以对应一个偶数：1对应2，2对应4，3对应6...既然可以一一对应，那么它们的数量就相等。

康托尔的工作暂时缓解了数学的第二次危机，但也引发了新的问题。他提出了集合论，认为整个数学都可以建立在集合论的基础上。1900年，数学家庞加莱兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。”

就在这时，1901年，罗素提出了一个简单的问题，彻底击碎了这个美梦。

你可能听过罗素的这个问题，假设一个小镇上有个理发师，他在店门口挂了一块招牌：“本人给所有自己不理发的人理发。”那么问题来了：这个理发师要不要给自己理发？

想想看，如果他不给自己理发，那么他属于“自己不理发的人”，按照招牌上的规定，他应该给自己理发。但如果他给自己理发，那他就不属于“自己不理发的人”，按照规定，他就不应该给自己理发。无论怎么回答，都会导致矛盾。

这就是罗素悖论的简单版。它引发了数学的第三次危机。这次危机比前两次更严重，因为它动摇的不是某个具体的数学分支，而是整个数学的逻辑基础。

为了解决罗素悖论，罗素本人花了十几年时间，与怀特海合著了三卷本的《数学原理》，每一册都有500多页。直到第二卷第362页，罗素才证明了1+1=2。

但罗素的努力并没有彻底解决问题。真正的终极一击，来自哥德尔。

还记得我们开头讲的那个故事吗？1930年9月7日，也就是希尔伯特发表演讲的前一天。哥德尔向《数学月刊》投了那篇稿子。在这篇论文中，哥德尔证明了两个定理。

第一个定理说：对于任何包含基本算术的数学系统，如果它是自洽的（也就是内部没有矛盾），那么它一定是不完备的（也就是存在无法证明的真命题）。

第二个定理说：任何数学系统都无法在系统内部证明自己的自洽性。

这两个定理听起来很复杂，简单说，数学家们追求了两千年的目标——建立一个既自洽又完备的数学体系——是不可能实现的。

哥德尔不完备定理的意义，远远超出了数学本身。

首先，它告诉我们，数学是无穷无尽的。当我们发现某个命题无法在现有体系中证明时，可以把它作为新的公理加入系统。但在这个新体系中，又会出现新的无法证明的命题。这个过程永无止境。知识的边界在不断扩展，但永远无法达到终点。

其次，它揭示了理性的边界。从亚里士多德开始，人们一直试图建立一个完全基于逻辑推演的知识体系，试图把直觉排除在外。但哥德尔证明，直觉是不可或缺的。有些数学真理，我们只能凭直觉相信它是对的，却无法通过逻辑推演来证明。

再次，它划出了人类智能与人工智能的分界线。我们可以把能够通过逻辑推演证明的部分编写成程序，让计算机去执行。但那些无法被证明、只能凭直觉理解的部分，计算机永远无法企及。

那么，我们该如何面对这种不完备性？我的答案是：接受它，并学会在不确定中寻找相对的确定性。

直觉为何能应对不确定性？

我们应对日常问题，很多时候并没有足够时间细致深入地理性分析，我们常常会启动“直觉”。什么是“直觉”呢？直觉是“在信息不完备时，基于潜意识的概率评估快速决策”。换句话说，直觉不是胡乱猜测，而是大脑基于过往经验，在信息不足的情况下做出的判断。

想象一下，我们的祖先在草原上遇到一个模糊的影子。来不及仔细分析它是狮子还是石头，必须立即判断：是逃跑还是靠近？那些直觉准确的人活了下来，那些直觉不准的人，可能已经被狮子吃掉了。

在今天这个充满不确定性的时代，直觉的价值更加凸显。我们面对的世界越来越复杂，信息越来越多，但决策时间越来越少。很多时候，我们必须在信息不完备的情况下做出决策。这时候，逻辑推演固然重要，但直觉同样不可或缺。

我在书中还讨论了AI和人类智能的关系，比如所谓人肉歧视，我们总会认为人类的智慧是更高的。人类会不断调整对智能的定义，来维护自身的尊严。

1997年，IBM的深蓝战胜了国际象棋世界冠军。人们说，国际象棋只是计算，围棋才是真正考验智能的项目。2016年，AlphaGo战胜了围棋世界冠军。人们又说，围棋也只是计算，创造力才是智能的核心。

你看，每当AI在某个领域超越人类，人类就会重新定义什么是“真正的智能”。

当然，在书里，我也提出了AI的熵增界限，你无法让AI具有独立判断能力，因为它的系统最终会走向熵最大化的最大紊乱。

但这并不是说AI没有价值。恰恰相反，AI的发展让我们更清楚地认识到，什么是可以被算法化的，什么是无法被算法化的。哥德尔不完备定理告诉我们，可计算性与完备性是不相容的。

那些可以被完全形式化的问题，AI会做得比人类更好。但那些需要直觉、需要在不完备信息下做出判断的问题，仍然需要人类的智慧。

从亚里士多德开启理性，到哥德尔揭示理性的缺陷，人类走过了两千多年。这两千年的探索告诉我们一个道理：我们终将知道，我们无法知道一切。而承认这一点，接受人类认知的不完美，正是我们的伟大之处。